De zin als waarheidsfunctie

5 Der Satz ist eine Wahrheitsfunktion der Elementarsätze.
(Der Elementarsatz ist eine Wahrheitsfunktion seiner selbst.)

Als we n standen van zaken beschouwen, zijn er K_n = 2ⁿ mogelijke combinaties waarbij iedere individuele stand van zaken wel of niet bestaat (TLP 4.27).

(Wittgenstein maakt het zichzelf en de lezer (nog) moeilijk(er) door met de som van de binomiaalcoëfficiënten op rij n van Pascals driehoek te rekenen. Die som is gelijk aan 2ⁿ, zijnde het aantal deelverzamelingen van een verzameling met n elementen. De lezer kan het zich zo voorstellen: iedere combinatie houdt voor iedere stand van zaken de “keuze” in of die bestaat of niet bestaat – lees: of die deel uitmaakt van een deelverzameling van bestaande standen van zaken. Alle mogelijke combinaties komen dan overeen met het totaal aantal deelverzamelingen van de verzameling standen van zaken.)

Met die combinaties van (bestaande of niet-bestaande) standen van zaken komen evenveel mogelijkheden van waarheid of onwaarheid van n Elementarsätzen overeen.

Wittgenstein zet die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze uit in een schema waarbij iedere rij een Wachrheitsmöglichkeit voorstelt in een combinatie van een gegeven aantal elementaire zinnen (TLP 4.31):

p	q
W	W
F	W
W	F
F	F

De Wahrheitsmöglichkeiten van de elementaire zinnen zijn de Wahrheitsbedingungen van de (algemene) zinnen die uit die elementaire zinnen gevormd kunnen worden (TLP 4.41). We kunnen het bovenstaande schema immers uitbreiden met een kolom die de zin – hier r – voorstelt waarbij telkens wordt aangegeven in hoeverre de zin overeenstemt of niet overeenstemt met de waarheidsmogelijkheden van de elementaire zinnen p en q waaruit r gevormd wordt. (We komen verder terug op de specifieke combinatie van p en q die r uitdrukt.):

p	q	r
W	W	W
F	W	W
W	F	F
F	F	W

4.431

De lezer die de telregel aan het begin van dit stukje onder de knie heeft, ziet dat er op die manier L_n = 2^{2^n} mogelijkheden zijn (TLP 4.42). (Ook al maakt Wittgenstein het opnieuw moeilijker dan nodig.)

4.431 […] Der Satz ist der Ausdruck seiner Wahrheitsbedingungen. […]

Net zoals Frege gebruikt Wittgenstein dit schema van Wahrheitsbedingungen als verklaring voor de tekens in zijn Begriffsschrift. Met één belangrijk onderscheid: waar Frege »das Wahre« en »das Falsche« als voorwerpen beschouwde die de argumenten van de zinnen uitmaakten, ontkent Wittgenstein het bestaan van dat soort »Logische Gegenstände« (TLP 4.441). Voor Wittgenstein is de hele tabel hierboven een zinsteken maar

4.442 […] Ein Satz kann unmöglich von sich selbst aussagen, dass er wahr ist. […]

Door voor eens en voor altijd een combinatieregel vast te leggen waarin de rijen waarheidsmogelijkheden elkaar opvolgen, is het voldoende om enkel de laatste kolom als zinsteken te gebruiken:

»(WWFW)(p, q)«.

De volledige rij L₂ = 16 mogelijke groepen waarheidsvoorwaarden die bij de waarheidsmogelijkheden van 2 elementaire zinnen behoren, zijn dan (TLP 5.101):

(WWWW)(p,q)	I	(Wenn p, so p, und wenn q, so q.) (p ⊃ p ．q ⊃ q)
(FWWW)(p, q)	II	Nicht beides p und q. (~(p ．q))
(WFWW)(p, q)	III	Wenn q, so p. (q ⊃ p)
(WWFW)(p, q)	IV	Wenn p, so q. (p ⊃ q)
(WWWF)(p, q)	V	p oder q. (p ∨ q)
(FFWW)(p, q)	VI	Nicht q. (~q)
(FWFW)(p, q)	VII	Nicht p. (~p)
(FWWF)(p, q)	VIII	p oder q, aber nicht beide. (p ．~q :∨: q ．~p)
(WFFW)(p, q)	IX	Wenn p, so q; und wenn q, so p. (p ≡ q)
(WFWF)(p, q)	X	p
(WWFF)(p, q)	XI	q
(FFFW)(p, q)	XII	Weder p noch q. (~p ．~q oder p | q)
(FFWF)(p, q)	XIII	p und nicht q. (p ．~q)
(FWFF)(p, q)	XIV	q und nicht p. (q ．~p)
(WFFF)(p, q)	XV	q und p. (q ．p)
(FFFF)(p, q)	0	(p und nicht p; und q und nicht q.) (p.~p.q.~q)

De zin r uit het voorbeeld hierboven, komt in dit schema overeen met nummer IV. We komen verder terug op de uitleg in woorden die Wittgenstein in de derde kolom toevoegde.

(Wittgenstein voert in TLP 6.1203 ook een grafische voorstelling van de Wahrheitskombinationen in voor de liefhebbers.)

In de eerste kolom maakt Wittgenstein duidelijk hoe hij de zin als functie van de elementaire zinnen zag, met die laatste als Wahrheitsargumente van de zin (TLP 5.01). Frege zag de zinnen als Namen en hun argumenten als de indices van die namen. Wittgenstein gaat daartegenin omdat voor hem een index deel uitmaakt van de beschrijving van het voorwerp dat we een bepaalde naam geven:

5.02 […] (Im Namen Julius Cäsar ist »Julius« ein Index. Der Index ist immer ein Teil einer Beschreibung des Gegenstandes, dessen Namen wir ihn anhängen. Z.B. Der Cäsar aus dem Geschlechte der Julier.) […]

Voor Wittgenstein is »p« in »~p« – nummer VII hierboven – geen index maar een argument. De Sinn van »~p« kan immers niet worden begrepen zonder vooraf de Sinn van »p« te verstaan (TLP 5.02). Het teken »~« slaat in werkelijkheid letterlijk nergens op – en Wittgenstein zal er in de algemene vorm van de zin komaf mee maken.